高考数学考点之几何概型

知识整合
 

一、几何概型

1.几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2.几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.

(2)每个基本事件发生的可能性相等.

3.几何概型的概率计算公式

4.必记结论

(1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关;

(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题;

(3)与体积有关的几何概型.

 

二、随机模拟

用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.

这个方法的基本步骤是:

(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;

(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;

(3)计算频率作为所求概率的近似值.

注意,用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值,每次试验得到的结果可能不同,而所求事件的概率是一个确定的数值.

 

重点考向

考向一 与长度有关的几何概型

求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度,进而求解.此处的“长度”可以是线段的长短,也可以是时间的长短等.

注意:在寻找事件A发生对应的区域时,确定边界点是问题的关键,但边界点能否取到不会影响事件A的概率.

 

典例引领

典例1  某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟.第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是

 

 

【答案】A

【解析】由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20,

该同学到达教室的时间总长度为40,其中在8:50~9:10进入教室时,听第二节课的时间不少于10分钟,其时间长度为20,

故所求概率为,选A.

 

变式拓展

考向二 与面积有关的几何概型

求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征找出两个“面积”,套用几何概型的概率计算公式,从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.

典例引领

典例3  在如图所示的扇形AOB,AOB=,半圆CAO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为

 

变式拓展

3一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为

 

考向 与体积有关的几何概型的求法

用体积计算概率时,要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系,准确计算出所求事件构成的区域的体积,确定出基本事件构成的区域的体积,求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时,可以考虑用此方法求解.

 

典例引领

典例一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是  

 

变式拓展

5.有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为圆柱下底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于l的概率为

考向 随机模拟的应用

 

典例引领

 

 

变式拓展

 

 

考点冲关

 

直通高考

 

参考答案

 

变式拓展

考点冲关

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