高考数学考点之随机事件的概率

知识整合
 

一、随机事件及其概率

1事件的分类

2频率与概率

注意:频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值,与试验次数有关.概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.

 

二、事件间的关系及运算

定义

符号表示

包含关系

如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

BA(或AB)

相等关系

BAAB则事件A与事件B相等

AB

并事件(和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

AB(或AB)

交事件(积事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

AB(或A·B)

互斥事件

AB为不可能事件,则称事件A与事件B互斥

图3

对立事件

AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件

图4且

图5

注意:互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求必须有一个发生.因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.

 

三、概率的基本性质

 

重点考向

考向一 由频率估计随机事件的概率

随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,随机事件的发生呈现一定的规律性,因而,可以从统计的角度,通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.

 

典例引领

典例1  某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:

抽取球数n

50

100

200

500

1000

2000

优等品数m

45

92

194

470

954

1902

优等品频率

(1)计算表中乒乓球优等品的频率;

(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)

 

【解析(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

(2)由(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数0.950的附近摆动

所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

 

典例2  如图,A地到火车站共有两条路径L1L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

所用时间(分钟)

10~20

20~30

30~40

40~50

50~60

选择L1的人数

6

12

18

12

12

选择L2的人数

0

4

16

16

4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L1L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

变式拓展

1.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1个该产品获利润5元,未售出的产品,每个亏损3元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示.该同学为这个开学季购进了160个该产品,以,单位:个)表示这个开学季内的市场需求量.

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;

(2)根据直方图估计利润不少于640元的概率.

 

考向二 事件间的关系及运算

对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的,不能在多次试验中判断. 具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.

 

典例引领

典例3  判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.

已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中

(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;

(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;

(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;

(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.

 

变式拓展

 

考向三 概率加法公式的应用

概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”,对于较难判断关系的,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.

求复杂事件的概率通常有两种方法:

1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;

2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.

 

典例引领

典例4  某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.

1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式.

2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量n

14

15

16

17

18

19

20

频数

10

20

16

16

15

13

10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于92元的概率.  

 

典例5   某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:

年降水量(mm)

[100,150)

[150,200)

[200,250)

[250,300]

概率

0.10

0.25

0.20

0.12

1)求年降水量在[200,300]内的概率;

2)求年降水量在[100,250)内的概率.

 

 

变式拓展

3.在一次学业水平测试中,小明成绩在60~80分的概率为0.5,成绩在60分以下的概率为0.3,若规定考试成绩在80分以上为优秀,则小明成绩为优秀的概率为

A.0.2  B.0.3 

C.0.5  D.0.8

4.近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):

“厨余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

厨余垃圾

400

100

100

可回收物

30

240

30

其他垃圾

20

20

60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.

 

考点冲关

 

答案解析

变式拓展

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