考向一 排列数公式和组合数公式的应用
这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系,也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式,连乘形式多用于数字计算,阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.
【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简方程或不等式,最后得出问题的解.
考向二 排列问题的求解
解决排列问题的主要方法有:
(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置.
(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列,同时要注意捆绑元素的内部排列.
(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
(4)对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.
(5)若某些问题从正面考虑比较复杂,可从其反面入手,即采用“间接法”.
典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容,调动同学们的积极性,他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.经过观察这8个同学的身体特征,王老师决定,按照1,2号相邻,3,4号相邻,5,6号相邻,而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏,有________种排法.(用数字作答)
【答案】576
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有
A.1440种 B.720种
C.960种 D.480种
4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数有
A.144个 B.120个
C.96个 D.72个
考向三 组合问题的求解
组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素,在解答时可用直接法,也可用间接法.用直接法求解时,要注意合理地分类或分步;用间接法求解时,要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义,做到不重不漏.
典例3 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为
A.85 B.86 C.91 D.90
【答案】B
5.自2020年起,山东夏季高考成绩由“3+3”组成,其中第一个“3”指语文、数学、英语3科,第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科,从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目,则该同学3科选考科目的不同选法的种数为
A.6 B.7
C.8 D.9
6.2017年3月22日,习近平出访俄罗斯,在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间,俄罗斯某电视台记者,在莫斯科大学随机采访了7名大学生,其中有3名同学会说汉语,从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2人都会说汉语的概率为
A. B.
C. D.
考向四 排列与组合的综合应用
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.
第一步:选元素,即选出符合条件的元素;
第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列;
第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.
典例4 有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有_______________种(用数字作答).
【答案】2520
7.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有
A.35种 B.24种
C.18种 D.9种
8.为发展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则选派方案的种数为
A.180 B.240
C.540 D.630
1.下列等式中,错误的是
A. B.
C. D.
2.若,则
的值为
A.60 B.70
C.120 D.140
3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为
A.10 B.16
C.20 D.24
4.某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有
A.12种 B.24种
C.36种 D.72种
5.甲、乙、丙、丁、戊五个老师要安排去4个地区支教,每个地区至少安排一人,则不同的安排方法种数为
A.150 B.120
C.180 D.240
6. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A. B.
C. D.
7.2018年平昌冬奥会期间,名运动员从左到右排成一排合影留念,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法种数为
A.21 B.36
C.42 D.84
8.数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为
A. B.
34
C.43 D.
43
9.用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,则比2340小的四位数共有
A.20个 B.32个
C.36个 D.40个
10.元旦晚会期间,高三二班的学生准备了6 个参赛节目,其中有 2 个舞蹈节目,2 个小品节目,2个歌曲节目,要求歌曲节目一定排在首尾,另外2个舞蹈节目一定要排在一起,则这 6 个节目的不同编排种数为
A.48 B.36
C.24 D.12
11.岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这3个同学的不同进站方式有( )种.
A.24 B.36
C.42 D.60
12.节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有_________种.
13.在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为_________.(用数字作答)
14.给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有_________.
15.某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有_________种(用数字作答).
16.2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲、乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种.
17.(1)解不等式: ;
(2)有4名男生和3名女生,
i)选出4人去参加座谈会,如果3人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?
ii)7人排成一排,甲、乙二人之间恰好有2个人,有多少种不同的排法?
18.有2名老师,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情况中,各有多少种不同站法?
(1)3名男生必须站在一起;
(2)2名老师不能相邻;
(3)若3名女生身高都不等,从左到右女生必须由高到矮的顺序站.(最终结果用数字表示)
19.4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)①恰好有一个空盒子,有多少种放法?
②若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?
(2)每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?
1.(2018新课标全国Ⅱ理科)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A. B.
C. D.
2.(2017新课标全国Ⅱ理科)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
3.(2016四川理科)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为
A.24 B.48
C.60 D.72
4.(2018新课标全国Ⅰ理科)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)
5.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为_____.
6.(2018浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
7.(2017浙江理科)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______种不同的选法.(用数字作答)
8.(2017天津理科)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
答案解析
变式拓展
考点冲关
直通高考