高考数学考点之排列与组合

知识整合
 

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重点考向
 

考向一 排列数公式和组合数公式的应用

2.png这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系,也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式,连乘形式多用于数字计算,阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.

 

典例引领

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【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时,应先求出未知数的取值范围,再利用排列数公式化简方程或不等式,最后得出问题的解.

 

变式拓展

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考向二 排列问题的求解

解决排列问题的主要方法有:

1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑,都要贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置.

2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列,同时要注意捆绑元素的内部排列.

3)解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

4)对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.

5)若某些问题从正面考虑比较复杂,可从其反面入手,即采用“间接法”.

 

 

典例引领

典例2  室内体育课上王老师为了丰富课堂内容,调动同学们的积极性,他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.经过观察这8个同学的身体特征,王老师决定,按照1,2号相邻,3,4号相邻,5,6号相邻,而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏,有________种排法.(用数字作答)

 

【答案】576

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变式拓展

3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有

A.1440种     B.720种

C.960种     D.480种

 

4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数有

A.144个  B.120个

C.96个  D.72个

 

 

考向三 组合问题的求解

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素,在解答时可用直接法,也可用间接法.用直接法求解时,要注意合理地分类或分步;用间接法求解时,要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义,做到不重不漏.

典例引领

典例3  某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为

A.85     B.86    C.91    D.90

 

【答案】B

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变式拓展

5.自2020年起,山东夏季高考成绩由“3+3”组成,其中第一个“3”指语文、数学、英语3科,第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科,从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目,则该同学3科选考科目的不同选法的种数为  

A.6     B.7

C.8     D.9

 

6.2017年3月22日,习近平出访俄罗斯,在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间,俄罗斯某电视台记者,在莫斯科大学随机采访了7名大学生,其中有3名同学会说汉语,从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2人都会说汉语的概率为

A.7.png  B.8.png

C.9.png  D.10.png

 

考向  排列与组合的综合应用

先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.

第一步:选元素,即选出符合条件的元素;

第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列;

第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.

 

典例引领

典例4  有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有_______________种(用数字作答).

 

【答案】2520

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变式拓展

7.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有

A.35种  B.24种

C.18种  D.9种

 

8.为发展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则选派方案的种数为

A.180  B.240

C.540  D.630

 

 

考点冲关

1.下列等式中,错误的是

A.12.png     B.

C.    D.

 

2.若,则的值为

A.60     B.70

C.120     D.140

 

3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为

A.10  B.16

C.20  D.24

 

4.某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有

A.12种 B.24种

C.36种 D.72种

 

5.甲、乙、丙、丁、戊五个老师要安排去4个地区支教,每个地区至少安排一人,则不同的安排方法种数为

A.150     B.120

C.180     D.240

 

6. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

A.                                  B.

C.                                  D.

 

7.2018年平昌冬奥会期间,名运动员从左到右排成一排合影留念,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法种数为

A.21     B.36

C.42     D.84

 

8.数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为

A.          B.34

C.43          D.43

 

 

9.用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,则比2340小的四位数共有

A.20个 B.32个

C.36个 D.40个

 

10.元旦晚会期间,高三二班的学生准备了6 个参赛节目,其中有 2 个舞蹈节目,2 个小品节目,2个歌曲节目,要求歌曲节目一定排在首尾,另外2个舞蹈节目一定要排在一起,则这 6 个节目的不同编排种数为

A.48     B.36 

C.24     D.12

 

11.岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这3个同学的不同进站方式有(    )种.

A.24     B.36

C.42     D.60

 

12.节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有_________种. 

 

13.在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为_________.(用数字作答)

 

14.给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有_________. 

 

15.某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有_________种(用数字作答). 

 

16.2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲、乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种.

 

17.(1)解不等式:

(2)有4名男生和3名女生,

i)选出4人去参加座谈会,如果3人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?

ii)7人排成一排,甲、乙二人之间恰好有2个人,有多少种不同的排法?

 

18.有2名老师,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情况中,各有多少种不同站法?

(1)3名男生必须站在一起;

(2)2名老师不能相邻;

(3)若3名女生身高都不等,从左到右女生必须由高到矮的顺序站.(最终结果用数字表示)

19.4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.

(1)①恰好有一个空盒子,有多少种放法?

②若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?

(2)每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?

 

直通高考

1.(2018新课标全国Ⅱ理科)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

A.          B.

C.         D.

 

2.(2017新课标全国Ⅱ理科)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有

A.12种 B.18种

C.24种 D.36种

 

3.(2016四川理科)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为

A.24     B.48  

C.60     D.72

 

4.(2018新课标全国Ⅰ理科)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)

 

5.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为_____.

 

6.(2018浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

 

7.(2017浙江理科)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______种不同的选法.(用数字作答)

 

8.(2017天津理科)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)

 

答案解析

变式拓展

 

考点冲关

直通高考

高考数学

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高考数学考点之二项式定理

2020-1-10 10:20:49

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