高考数学考点之排列与组合

知识整合

重点考向

考向一 排列数公式和组合数公式的应用

这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.

典例引领

【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.

变式拓展

考向二 排列问题的求解

解决排列问题的主要方法有：

（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.

（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.

（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.

典例引领

典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答）

【答案】576

变式拓展

3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有

A．1440种 B．720种

C．960种 D．480种

4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有

A．144个 B．120个

C．96个 D．72个

考向三 组合问题的求解

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.

典例引领

典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为

A．85 B．86 C．91 D．90

【答案】B

变式拓展

5．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3+3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为

A．6 B．7

C．8 D．9

6．2017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间，俄罗斯某电视台记者，在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为

A． B．

C． D．

考向四 排列与组合的综合应用

先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.

第一步：选元素，即选出符合条件的元素;

第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;

第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.

典例引领

典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答).

【答案】2520

变式拓展

7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有

A．35种 B．24种

C．18种 D．9种

8．为发展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则选派方案的种数为

A．180 B．240

C．540 D．630

考点冲关

1．下列等式中，错误的是

A． B．

C． D．

2．若，则的值为

A．60 B．70

C．120 D．140

3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为

A．10 B．16

C．20 D．24

4．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有

A．12种 B．24种

C．36种 D．72种

5．甲、乙、丙、丁、戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法种数为

A．150 B．120

C．180 D．240

6． 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

A． B．

C． D．

7．2018年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为

A．21 B．36

C．42 D．84

8．数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为

A． B．3⁴

C．4³D．4³

9．用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,则比2340小的四位数共有

A．20个 B．32个

C．36个 D．40个

10．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为

A．48 B．36

C．24 D．12

11．岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（）种.

A．24 B．36

C．42 D．60

12．节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有_________种.

13．在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为_________.(用数字作答)

14．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有_________.

15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有_________种(用数字作答).

16．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲、乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．

17．（1）解不等式: ；