高考数学考点之两个基本计数原理

知识整合
 

1.两个计数原理

分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条件 完成一件事有两类方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法
结论 完成这件事共有1.png种不同的方法 完成这件事共有2.png种不同的方法

【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成.若能“一次性”完成,则不需分步,只需分类;否则就分步处理.

 

2.两个计数原理的区别与联系

原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一 每类办法都能独立完成这件事,它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏

 

重点考向

考向一 分类加法计数原理

(1)分类加法计数原理的特点:

①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准.

②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类.

(2)使用分类加法计数原理遵循的原则:

有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.

(3)应用分类加法计数原理要注意的问题:

①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才算是完成这件事.

②完成这件事的n类方法是相互独立的,无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.

③确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法是不同的方法,也就是分类时必须既不重复也不遗漏.

 

典例引领

典例1  将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的号不能相同,则不同的放球方法有

A.16种             B.12种

C.9种             D.6种

 

【答案】B

【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:

当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法.

因此,不同的放球方法有2+2+2+2+2+2=12种.故选B.

【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用,分六种情况讨论,求解每一种类型的放球方法数,然后利用分类加法计数原理求解即可.解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”,在应用分类加法计数原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.

 

变式拓展

 

1.小王有70元钱,现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张,则不同的买法共有

A.7种            B.8种

C.6种            D.9种

 

 

考向二 分步乘法计数原理

 

应用分步乘法计数原理要注意的问题:

明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的,也就是说必须要经过几步才能完成这件事.

完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步骤,这件事都不可能完成.

根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.

 

典例引领

典例2  某商场共有4个门,购物者若从一个门进,则必须从另一个门出,则不同走法的种数是

A.8          B.7

C.11          D.12

 

【答案】D

【解析】从一个门进有4种选择,从另一个门出有3种选择,共有4×3=12(种)走法.

【名师点睛】对于分步乘法计数原理:

要按事件发生的过程合理分步,即考虑分步的先后顺序.

各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这个事件.

对完成各步的方法数要准确确定.

 

典例3 现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择,在如图所示的四块土地上种植,要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物,则不同的种植方法共有

 

3.png

 

A.36种             B.48种

C.24种             D.30种

 

【答案】B

【解析】由题意可知,本题是一个分步计数的问题.

先给右边的一块地种植,有4种结果;

再给中间上面的一块地种植,有3种结果;

再给中间下面的一块地种植,有2种结果;

最后给左边的一块地种植,有2种结果.

根据分步计数原理可知共有4×3×2×2=48种结果.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查的知识点是分步计数原理,这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果,几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏.需要先给右边的一块地种植,有4种结果,再给中间上面的一块地种植,有3种结果,再给中间下面的一块地种植,有2种结果,最后给左边的一块地种植,有2种结果,相乘即可得到结果.

 

 

变式拓展

4.png

 

考向三 两个计数原理的综合应用

1)利用两个原理解决涂色问题

解决着色问题主要有两种思路:一是按位置考虑,关键是处理好相交线端点的颜色问题;二是按使用颜色的种数考虑,关键是正确判断颜色的种数.

解决此类应用题,一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分,再分类完成其余部分.要切实做到合理分类,正确分步,才能正确地解决问题.

2)利用两个原理解决集合问题

解决集合问题时,常以有特殊要求的集合为标准进行分类,常用的结论有5.png的子集有6.png个,真子集有7.png个.

 

典例引领

典例4  一个三位数,其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等),那么,这样的三位数共有

A.240个    B.249个

C.285个    D.330个

 

【答案】C

【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字,

所以当十位数字是0时有9×9=81种结果,

当十位数字是1时有8×8=64种结果,

当十位数字是2时有7×7=49种结果,

当十位数字是3时有6×6=36种结果,

当十位数字是4时有5×5=25种结果,

当十位数字是5时有4×4=16种结果,

当十位数字是6时有3×3=9种结果,

当十位数字是7时有2×2=4种结果,

当十位数字是8时有1种结果,

所以共有81+64+49+36+25+16+9+4+1=285种结果.

【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略:

(1)与数字有关的问题.可分类解决,每类中又可分步完成,也可以直接分步解决.

(2)与几何有关的问题.可先分类,再分步解决.

(3)涂色问题.可按颜色的种数分类完成,也可以按不同的区域分步完成.

 

变式拓展

3.如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为

 

8.png 

A.6,8            B.6,6

C.5,2            D.6,2

 

 

考点冲关

1.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼,小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色,每条鱼只能涂一种颜色,两条相邻的鱼不都涂成红色,涂色后,既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为

A.14            B.16

C.18            D.20

 

2.若4位同学报名参加3个不同的课外活动小组,每位同学限报且必须报其中的一个小组,则不同的报名方法共有

A.34种        B.9种

C.43种        D.12种

 

3.从1,2…9这九个数字中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是

A.6             B.9

C.20             D.25

 

4.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种         B.12种

C.16种         D.20种

 

5.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴和会小号的各1人,则不同的选法有

A.8种          B.12种

C.16种          D.20种

 

6.把2支相同的晨光签字笔,3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有

A.24种            B.28种

C.32种            D.36种

 

7.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,则不同的涂色方案共有

 

9.png 

 

A.420种            B.180种

C.64种            D.25种

 

8.某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是

A.16            B.24

C.8             D.12

 

9.已知集合10.png,从两个集合中各取一个元素作点的坐标,则在直角坐标系中,第一、二象限不同点的个数为

A.18          B.16

C.14          D.10

 

10.几个孩子在一棵枯树上玩耍,他们均不慎失足下落.已知

(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C;

(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F;

(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C;

(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H;

(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E.

李华在下落的过程中撞到了从A到I的所有树枝,根据以上信息,在李华下落的过程中,和这9根树枝不同的撞击次序有

A.23种        B.24种

C.32种       D.33种

 

11.已知a∈{3,4,5},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同圆的个数为______个.

 

12.我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”,则1,2,3,4四个数组成的两位数中,“和谐两位数”有______个.

 

13.如图所示的几何体由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱11.png组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面12.png不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.

 

13.png

 

14.将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,则黑白两球均不在1号盒子的概率为________.

 

15.为举办校园文化节,某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同的推荐方案的种数为________.(用数字作答)

 

直通高考

1.(2016年高考新课标Ⅱ卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

图14

A.24         B.18

C.12         D.9

 

2.(2016年高考新课标Ⅲ卷)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意15.png16.png中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有

A.18个             B.16个

C.14个             D.12个

 

3.(2013年高考福建卷)满足a,b∈{−1,0,1,2},且关于x的方程17.png有实数解的有序数对18.png的个数为

A.14    B.13

C.12    D.10

 

4.(2013年高考山东卷) 用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为

A.243    B.252

C.261    D.279

 

5.(2014年高考安徽卷) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有

A.24对    B.30对

C.48对    D.60对

 

答案解析

变式拓展

1.【答案】A

19.png 

2.【答案】D

【解析】完成xy这个事件分两个步骤:

第一步,从{1,2,3,4}中任选一个数x,有4种选法;

第二步,从{5,6,7,8}中任选一个数y,也有4种选法.

根据分步计数原理,完成这个事件有:4×4=16种取法.

其中3×8=4×6,所以16-1=15种,故选D.

【名师点睛】在解决计数问题时,首先要分析需要分类还是分步,分步要注意步骤完整,即完成所有步骤,恰好能完成任务,且步与步之间要相互独立.

 

3.【答案】A

【解析】由题意,从甲地经乙地到丙地的走法,根据分步乘法计数原理可得,共有2×3=6种;

再由分类加法计数原理,可得从甲地到丙地,共有6+2=8种走法,故选A.

【名师点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题,根据题意,应用乘原理,即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数,再由加法原理,即可得到甲地到丙地的所有走法的种数.其中正确理解题意,合理选择计数原理是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.

 

考点冲关

1.【答案】D

20.png 

【名师点睛】本题考查计数原理的运用,考查学生的计算能力,比较基础.分类讨论,利用加法原理,可得结论.  

 

2.【答案】A

【解析】由分步计数原理人去选活动小组,每个人都选完,事情结束,所以方法数为3×3×3×3=34种.故选A.

【名师点睛】本题考查分步计数原理求完成事情的方法数,只需要区分理解分类计数原理与分步计数原理即可求解.

 

3.【答案】C

【解析】有5个奇数,4个偶数,所以要使和为奇数必取一奇一偶,即有5×=20种,选C.

 

4.【答案】B

【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,选取3个面有2个不相邻,则必选相对的2个面,所以分3类.若选ABCD和A1B1C1D1两个面,另一个面可以是ABB1A1,BCC1B1,CDD1C1和ADD1A1中的一个,有4种.同理选另外相对的2个面也有4种.所以共有4×3=12(种).

 

5.【答案】D

【解析】由题意知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.按“多面手”的选法分为两类:

(1)“多面手”入选,则有6+2=8(种)选法;

(2)“多面手”不入选,则有6×2=12(种)选法.

因此选法共有8+12=20(种).

 

6.【答案】B

22.png 

【名师点睛】本题主要考查分步计数原理的应用,属于难题.有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.

 

7.【答案】B

【解析】由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法,B有4种涂法,C有3种,D有3种涂法.∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.

故答案为B.

【名师点睛】由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法,B有4种涂法,C有3种,D有3种涂法,根据乘法原理可得结论.解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手.

(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有、无限制等;

(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类,然后逐类解决;

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决.

 

8.【答案】A

【解析】根据题意,分3步进行分析:

①要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有2种情况;

②将这个整体与英语全排列,有23.png种顺序,排好后,有3个空位;

③数学课不排第一节,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个,安排物理,有2种情况,则数学、物理的安排方法有2×2=4种,则不同排课法的种数是2×2×4=16种.  

故选A.

 

9.【答案】C

24.png 

10.【答案】D

【解析】由题可判断出树枝部分顺序GABEF,还剩下D,H,I,

先看树枝I在C之前,有4种可能,而树枝D在BE之间,H在D之后,

若I在BC之间,D有3种可能:

①若D在BI之间,H有5种可能,

②若D在IC之间,H有4种可能,

③若D在CE之间,H有3种可能.

若I不在BC之间,则I有3种可能,此时D有2种可能,

D可能在BC之间,H有4种可能,D可能在CE之间,H有3种可能,

综上,共有5+4+3+3(4+3)=12+21=33种.

故选D.

【名师点睛】本题主要考查分类计数原理的应用,属于难题.有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.由题可判断出树枝部分顺序GABCEF,还剩下D,H,I,先看树枝I在C之前,有4种可能,而树枝D在BE之间,H在D之后,若I在BC之间,利用分类计数加法原理求解即可.

 

11.【答案】24

【解析】确定圆的方程可分三步:确定a有3种方法,确定b有4种方法,确定r有2种方法,由分步计数原理知N=3×4×2=24(个).

 

12.【答案】6

25.png 

 

13.【答案】12

【解析】先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有3×2×1×2=12种.

 

14.【答案】26.png

【解析】黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个球都有三种放法,故共有3×3=9种放法在,黑白两球均不在一号盒,都有两种放法,共有2×2=4,所以黑白两球均不在一号盒的概率为26.png,故答案为26.png.

【名师点睛】本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用,属于中档题.先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法,再求出黑白两球均不在一号盒的放法,利用古典概型概率公式可得到结果.

 

15.【答案】24

【解析】若参加乐器培训的是女生,则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有3×2×2=12(种)方案;若参加乐器培训的是男生,则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有2×3×2=12(种)方案,所以共有24种推荐方案.

 

直通高考

1.【答案】B

【解析】由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由乘法计数原理知,则共有6×3=18种走法,故选B.

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的.

分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相关联的.

 

2.【答案】C

【解析】由题意,得必有27.png28.png,则具体的排法列表如下:

0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 0 1
1 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 0 1
1 0

由上表知,不同的“规范01数列”共有14个,故选C.

【方法点拨】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来,常常会达到岀奇制胜的效果.

 

3.【答案】B

【解析】当a=0时,关于x的方程为2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0)(0,1)(0,2)均满足要求;

29.png时,30.png,所以31.png,此时满足要求的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2)

(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0).

综上,共有13个满足要求的有序数对.

 

4.【答案】B

32.png 

5.【答案】C

【解析】解法一(直接法):如图,在上底面中选33.png,四个侧面中的面对角线都与它成60°,共8对,同样34.png对应的也有8对,下底面也有16对,共有32对;左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.  

35.png

解法二(间接法):正方体的12条面对角线中,任意两条垂直、平行或成角为60°,其中,互相垂直的有12对,互相平行的有6对,所以成角为60°的共有36.png对.

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