高考数学考点之用样本估计总体

知识整合

一、数字特征

1.众数、中位数、平均数

数字特征

样本数据

频率分布直方图

众数

出现次数最多的数据

取最高的小长方形底边中点的横坐标

中位数

将数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)

把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标

平均数

样本数据的算术平均数

每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和

二、茎叶图

1.定义

茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.

2.表示方法

(1)对于样本数据较少,且分布较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶.样本数据为小数时做类似处理.

(2)对于样本数据较少,且分布较为集中的两组数据,关键是找到两组数据共有的茎.

三、统计表

1.频率分布直方图

(1)画频率分布直方图的步骤

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);

②决定组距与组数;

③将数据分组;

④列频率分布表;

⑤画频率分布直方图(以横轴表示样本分组,纵轴表示频率与组距的比值).

(2)频率分布直方图的性质

①落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示,且各小长方形的面积的和等于1.

②频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系

a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;

b.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;

c.平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

2.频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.

(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

3.各种统计表的优点与不足

优点

不足

频率分布表

表示数据较确切

分析数据分布的总体态势不方便

频率分布直方图

表示数据分布情况非常直观

原有的具体数据信息被抹掉了

频率分布折线图

能反映数据的变化趋势

不能显示原有数据

茎叶图

一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况

样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据

 

重点考向

 

考向一 数字特征的应用

明确数字特征的意义:

平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.

 

典例引领

典例1  某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为

A.85,85,85    B.87,85,86

C.87,85,85    D.87,85,90

【答案】C

变式拓展

考向二 茎叶图的应用

茎叶图的优、缺点:

由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失;第二点是茎叶图便于记录和表示,其缺点是当样本容量较大时,作图较繁琐.

 

典例引领

典例2  为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示,如图所示.

据此可估计上学期该校400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为

     A.100          B.160

     C.200          D.280

【答案】B

 

变式拓展

 

考向三 频率分布直方图的应用

频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法,是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题,且主要有以下几个命题角度:

(1)已知频率分布直方图中的部分数据,求其他数据.可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系,利用频率和等于1就可求出其他数据.

(2)已知频率分布直方图,求某种范围内的数据.可利用图形及某范围结合求解.

(3)与概率有关的综合问题,可先求出频率,再利用古典概型等知识求解.

 

典例引领

典例3  某商店为调查进店顾客的消费水平,调整营销思路,统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额(单位:元)并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250]进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知a,b,c成等差数列,则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为

            A.600     B.30

            C.60           D.300

【答案】A

 

变式拓展

4.200辆载着某炮兵团士兵的汽车急赴某地抗洪抢险,如图是汽车途经某大桥时的速度的频率分布直方图,则这200辆汽车的速度的中位数的估计值为

          A.64              B.63

          C.63.5           D.65

 

典例引领

典例4  为了增强学生的环保意识,某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛,并将本次竞赛的成绩(得分均为整数,满分100分)进行整理,制成下表:

成绩

[40,50)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

频数

2

3

14

15

12

4

1)作出被抽查学生成绩的频率分布直方图;

2)若从成绩在[40,50)中选1名学生,从成绩在[90,100]中选2名学生,共3名学生召开座谈会,求[40,50)组中学生A1[90,100]组中学生B1同时被选中的概率.

 

变式拓展

 

考点冲关

1.有下列说法:①一组数据不可能有两个众数;②一组数据的方差必须是正数;③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后,方差不变;④在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有

A.0个     B.1个

C.2个     D.3个

 

2.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计,得到如图所示的样本茎叶图,则该样本的中位数和众数分别是

A.46,45     B.45,46

C.45,45     D.47,45

 

6.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为

A.2  B.3

C.4  D.5

 

8.为普及校园安全知识,某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中抽出60名学生,将其成绩分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、平均分分别为

A.75%,71  B.80%,85

C.85%,90  D.70%,65

10.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个,甲、乙两人每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论中错误的是

A.甲命中个数的极差是29 B.乙命中个数的众数是21

C.甲的命中率比乙高  D.甲命中个数的中位数是25

 

11.某网店在2018年1月的促销活动中,随机抽查了100名消费者的消费情况,并记录了他们的消费金额(单位:千元),将数据分成6组:(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6],整理得到频率分布直方图如图所示.若消费金额不超过3千元的人数占总人数的,则消费金额超过4千元的人数为

A.12 B.15

C.16 D.18

 

12.某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况,抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸,将所得数据整理后,画出频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分布直方图如图所示,第2小组的频数为10,则第5小组的频数是

A.4  B.5

C.8  D.10

 

13.某次知识竞赛中,五个参赛小队的初始积分都是50,在答题过程中,各小队每答对一题可使本队积分增加5,每答错一题本队积分不变,若答题过程中五个小队答对的题数分别是4,7,6,2,5,则这五个小队积分的方差为

    

 

14.随着智能手机的普及,网络购物越来越受到人们的青睐,某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学,得到的满意度打分如茎叶图所示.

若这组数据的中位数、平均数分别为a,b,则a,b的大小关系是__________.

 

15.某市为了增加2018届高三毕业生对各著名高校的了解,从而调动他们的学习动力,利用2017年暑假组织部分有意愿的学生赴部分大学参加夏令营,各大学夏令营的天数都在[2,12]内,现从中抽出100名学生,统计他们参加夏令营的天数,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这100名学生中参加夏令营的天数在[6,10)的人数为    . 

16.为组织好“市九运会”,组委会征集了800名志愿者,现对他们的年龄抽样统计后,得到如图所示的频率分布直方图,但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失,依据此图可得:

(1)年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为  

(2)这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为   

 

17.某届马拉松招聘志愿者,报名者首先进入笔试,按笔试成绩选出参加面试的人员,最后确定入选名单.现从报名的所有人中按男女比例采用分层抽样的方式抽取了100名,统计了他们的笔试成绩(满分100分),统计结果见如下所示的频率分布表,其中分数在区间[90,100]内的人员直接进入面试阶段,若分数在区间[80,90)内,则需要进行短期的培训后,再参加第二次笔试,从而确定能否参加面试.

分数区间

频数

频率

[50,60)

8

0.08

[60,70)

b

[70,80)

42

0.42

[80,90)

a

0.26

[90,100]

8

合计

100

1.00

(1)求a与b的值,并作出频率分布直方图;

(2)(i)根据表中数据,估计这100名人员笔试成绩的中位数 (精确到小数点后1位);

(ii)分析知,这100名人员在各分数段内的男女比例如下表所示,那么若以频率分布表中的频率近似作为概率,在总共2000名参考人员中,求经过第一次考试就可直接进入面试的男女人数的估计值.

分数段

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

男女比例

1∶1

3∶1

3∶4

7∶6

3∶5

 

18随着科技发展,手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具,现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了.为了调查某地区高中生一周使用手机的频率,某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间(单位:小时),所取样本数据分组区间为

20.某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间,分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试,其结果如下:

(1)求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差,并判断哪种手机电池质量好;

(2)为了进一步研究乙种手机的电池性能,从上述6部乙种手机中随机抽取2部,求这两部手机中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率.

 

21.某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求,在公共场所提供单车共享服务,某部门为了对该城市共享单车进行监管,随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调査,并根据其满意度评分值(满分100分)制作的茎叶图如图所示:

(1)分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数;

(2)从打分在70分以下(不含70分)的市民中抽取3人,求有女性被抽中的概率.

 

直通高考

1.(2018新课标全国Ⅰ理科)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:

                       

建设前经济收入构成比例                     建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后,种植收入减少

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

 

2.(2017新课标全国Ⅲ理科)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

5.(2018江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为    .

6.(2016上海理科)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是_________(米).

7.(2017新课标全国Ⅱ理科)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;

箱产量<50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).

参考答案

变式拓展

考点冲关

【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法:一是直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式,即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目,用第二种方法往往显得比较简便.

高考数学

高考数学考点之随机抽样

2020-1-3 10:42:32

高考数学

高考数学考点之变量间的相关关系

2020-1-6 10:43:54

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