高考数学考点之随机抽样

知识整合
 

一、简单随机抽样

1.定义:

设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

2.最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.

3.应用范围:总体中的个体数较少.

注意:不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的.

二、系统抽样

三、分层抽样

1.定义:

在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.

2.应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

注意:分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.

 

四、三种抽样方法的比较

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围

简单随

机抽样

是不放回抽样,抽样过程中,每个个体被抽到的机会(概率)相等

从总体中逐个抽取

总体中的个数较少

系统

抽样

将总体均分成几部分,按事先确定的规则,在各部分抽取

在起始部分抽样时,采用简单随机抽样

总体中的个数比较多

将总体分成几层,分层进行抽取

各层抽样时,采用简单随机抽样或者系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

分层抽样

 

重点考向

考向一  简单随机抽样

应用简单随机抽样应注意的问题:

(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:

一是抽签是否方便;

二是号签是否易搅匀.

一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

(2)在使用随机数表时,如遇到三位数或四位数时,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.

(3)简单随机抽样需满足:

被抽取的样本总体的个体数有限;

逐个抽取;

是不放回抽取;

是等可能抽取.

 

典例引领

典例1  下面的抽样方法是简单随机抽样的是

A.在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为

2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

 

【答案】D

【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况:抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.

 

变式拓展

1.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

    A.08               B.07

    C.02               D.01

 

 

考向二  系统抽样

 

典例引领

典例2  为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂,要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是

A.5,10,15,20,25    B.2,4,6,8,10

C.1,2,3,4,5    D.7,17,27,37,47

 

【答案】D

【解析】利用系统抽样,把编号分为5段,每段10个,每段抽取1个,号码间隔为10.

 

变式拓展

 

考向三  分层抽样

与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略:

(1)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意求出抽样比,再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数.

(2)求各层的样本数.可依据题意,求出各层的抽样比,再求出各层样本数.

进行分层抽样时应注意以下几点:

(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.

(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同.

 

典例引领

典例3  某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于

A.9            B.10

C.12            D.13

【答案】D

【名师点睛】分层抽样分层的原则:分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠. 

 

变式拓展

3.某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200.为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为

  A.120             B.40

  C.30              D.20

 

 

考向四  三种抽样方法的综合

(1)简单随机抽样的特点:

总体中的个体性质相似,无明显层次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性;个体间无固定间距.

(2)系统抽样的特点:

适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.

(3)分层抽样的特点:

适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.

 

典例引领

典例4  某校150名教职工中,有老年人20名,中年人50名,青年人80名,从中抽取30名作为样本.

采用随机抽样法:抽签取出30个样本;

采用系统抽样法:将教职工编号为000001,…149,然后平均分组抽取30个样本;

采用分层抽样法:从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本.

下列说法中正确的是

A.无论采用哪种方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等

B.①②两种抽样方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;③并非如此

C.①③两种抽样方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;②并非如此

D.采用不同的抽样方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的

 

【答案】A

 

变式拓展

 

4.某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个,120个,190个,140个销售点.为了调查产品的质量,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙城市有20个特大型销售点,要从中抽取8个进行调查,记这项调查为②,则完成①,②这两项调查宜采用的抽样方法依次为

A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法

C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法

 

考点冲关

1.简单随机抽样的结果

A.完全由抽样方式所决定

B.完全由随机性所决定

C.完全由人为因素所决定

D.完全由计算方法所决定

 

2.下面抽样方法是简单随机抽样的是

A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B.可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查

C.某连队从200名战士中,挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好)

 

3.某产品生产线上,一天内每隔60分钟抽取一件产品,则该抽样方法为①;某中学从30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况,则该抽取方法为②,那么

A.①是系统抽样,②是简单随机抽样 B.①是分层抽样,②是简单随机抽样

C.①是系统抽样,②是分层抽样 D.①是分层抽样,②是系统抽样

 

4.为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,那么从总体中应随机剔除的个体数目为 

         A.2       B.3

         C.4       D.5

 

5.为了解城市居民的环保意识,某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中老年人抽取了3名,则n=         

         A.13      B.12

         C.10      D.9

 

 

7.为了解某高校高中学生的数学运算能力,从编号为0001,0002,…,2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,并把样本编号从小到大排列,已知抽取的第一个样本编号为0003,则第三个样本编号是

         A.0083     B.0043

         C.0123     D.0163

 

8.某校高中三个年级共有学生1050人,其中高一年级300人,高二年级350人,高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本,那么应从高三年级学生中抽取的人数为        

         A.12       B.14

         C.16       D.18

 

 

10.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取一部分人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为

          A.56       B.28

          C.44       D.14

 

11.某中学有高中生3000人,初中生2000人,男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是

 

 

        A.12       B.15

        C.20       D.21

12.某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况,决定对该市参加2018年高三第一次全国大联考统考(后称统考)的32所学校进行抽样调查;将参加统考的32所学校进行编号,依次为1到32,现用系统抽样法,抽取8所学校进行调查,若抽到的最大编号为31,则最小编号是      

           A.3        B.1    

           C.4        D.2

13.某学校在校艺术节活动中,有24名学生参加了学校组织的唱歌比赛,他们比赛的成绩的茎叶图如图所示,将他们的比赛成绩从低到高编号为1~24,再用系统抽样方法抽出6名同学周末到某音乐学院参观学习,则样本中比赛成绩不超过85分的学生人数为

 

6

9

7

0

1

2

2

5

8

1

3

6

6

7

8

8

9

9

9

9

0

0

1

2

2

3

4

7

A.1     B.2

C.3     D.不确定

 

 

15.将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌,从中抽出15个号签,就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查,使用的是_________法.

 

16.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________.

 

17.某工厂生产的a.b.c三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5,为研究这三种产品的质量,现用分层抽样的方法从该工厂生产的a.b.c三种产品中抽出样本容量为的样本,若样本中A型产品有16件,则n的值为__________.

 

18.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:“今有北乡八千一百人,西乡久千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百人.”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了500人服役,则南乡应该抽出__________人.

 

19.某班级共有52名学生,现将学生随机编号,用系统抽样法,抽取一个容量为4的样本,已知抽取的号中最小的与最大的和为51,那么在样本中的被抽到的编号依次是________.

 

20.某校对全校共1800名学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本,已知女生比男生少抽了20人,则该校的女生人数应是__________.

 

直通高考

 

 

3.(2013湖南理科)某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是

       A.抽签法          B.随机数法

       C.系统抽样法       D.分层抽样法

 

4.(2013陕西理科)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为

        A.11            B.12

        C.13            D.14

 

5.(2013新课标全国Ⅰ理科)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是

       A.简单随机抽样         B.按性别分层抽样

       C.按学段分层抽样       D.系统抽样

 

6.(2017江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取

   件。

 

7.(2016北京理科节选)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):

A班 6    6.5    7     7.5      8
B班 6    7      8     9      10    11    12
C班 3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5

(1)试估计C班的学生人数.

 

8.2015广东理科)某工厂36名工人的年龄数据如下表.

工人编号

年龄

工人编号

年龄

工人编号

年龄

工人编号

年龄

1

40

10

36

19

27

28

34

2

44

11

31

20

43

29

39

3

40

12

38

21

41

30

43

4

41

13

39

22

37

31

38

5

33

14

43

23

34

32

42

6

40

15

45

24

42

33

53

7

45

16

39

25

37

34

37

8

42

17

38

26

44

35

49

9

43

18

36

27

42

36

39

(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据.

参考答案

变式拓展

1.【答案】D

【解析】按照要求读数,大于20或者重复的数跳过,则选出来的5个个体的编号分别是08,02,14,07,01,即第5个个体的编号为01.故选D.

 

2.【答案】B

 

 

4.【答案】B

【解析】①四个城市销售点数量不同,个体存在差异比较明显,选用分层抽样;②丙城市特大销售点的数量不多,使用简单随机抽样即可.故选B.

 

考点冲关

1.【答案】B

【解析】根据简单随机抽样的定义,总体中每个个体被抽到的机会相等,因此简单随机抽样的结果只与随机性有关.选B.

 

2【答案】D

【解析】A中平面直角坐标系中有无数个点,这与要求总体中的个体数有限不相符,故错误;B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点,故错误;C中50名战士是最优秀的,不符合简单随机抽样的等可能性,故错误.故选D.

 

3【答案】A

 

4【答案】A

【解析】学生总数不能被容量整除,根据系统抽样的方法,应从总体中随机剔除个体,保证整除.

1252=50×25+2应从总体中随机剔除个体的数目是2,故选A. 

 

直通高考

高考数学

高考数学考点之曲线与方程

2020-1-2 12:02:10

高考数学

高考数学考点之用样本估计总体

2020-1-3 12:04:10

0 条回复 A文章作者 M管理员
    暂无讨论,说说你的看法吧
个人中心
购物车
优惠劵
今日签到
有新私信 私信列表
有新消息 消息中心
搜索