高考数学考点之直线与圆锥曲线的位置关系

 

知识整合

一、直线与圆锥曲线的位置关系

1.曲线的交点

2直线与圆锥曲线的交点个数的判定

3直线与圆锥曲线的位置关系

 

二、圆锥曲线中弦的相关问题

1弦长的求解

2中点弦问题

重点考向

考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

1判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.

2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题

直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法:

1)过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题.

2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距离公式求弦长.

3)它体现了解析几何中的设而不求的思想,其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向 圆锥曲线中的定点、定值问题

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇,形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来研究等.

 

典例引领

 

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考点冲关

 

 

直通高考

 

 

参考答案

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