高考数学考点之抛物线

知识整合

一、抛物线的定义和标准方程

1抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称轴,简称抛物线的轴.

注意:直线l不经过点F,若l经过F点,则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线.

2抛物线的标准方程

 

二、抛物线的几何性质

1抛物线的几何性质

2抛物线的焦半径

3抛物线的焦点弦

4必记结论

 

重点考向

考向一 抛物线的定义和标准方程

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向二 求抛物线的标准方程

典例引领

 

变式拓展

 

考向三 抛物线的简单几何性质及其应用

确定及应用抛物线性质的关键与技巧

(1)关键:利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程.

(2)技巧:要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.

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考向四 焦点弦问题

与抛物线的焦点弦长有关的问题,可直接应用公式求解.解题时,需依据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定,是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差,这是正确解题的关键.

 

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考向 抛物线中的最值问题

1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化,从而求解.

2.有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点EE在抛物线内)的距离之和的最小值问题,可依据抛物线的图形,过点E作准线l的垂线,其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值. 

典例引领

变式拓展

 

考点冲关

 

 

直通高考

 

参考答案

变式拓展

【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系,属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.

 

考点冲关

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