高考数学考点之直线、平面垂直的判定及其性质

 

知识整合

一、直线与平面垂直

1.定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.记作:l⊥α.图形表示如下:

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语,与“无数条直线”不是同义语.

2.直线与平面垂直的判定定理

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时,一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直,而不是任意的两条直线.

3直线与平面垂直的性质定理

4直线与平面所成的角

5常用结论(熟记)

(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.

(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

二、平面与平面垂直

1.定义

2.平面与平面垂直的判定定理

3.平面与平面垂直的性质定理

4.二面角

5.常用结论(熟记)

(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.

(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.

(3)如果两个平面互相垂直,那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

三、垂直问题的转化关系

 

重点考向

考向一 线面垂直的判定与性质

 

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考向二 面面垂直的判定与性质

判定面面垂直的常见策略:

(1)利用定义(直二面角).

(2)判定定理:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.

(3)在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.

 

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考向三  线面角与二面角

求直线与平面所成的角的方法:

(1)求直线和平面所成角的步骤:

寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;

连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;

把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.

(2)求线面角的技巧:

在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.

求二面角大小的步骤:

简称为“一作二证三求”.作平面角时,一定要注意顶点的选择.

 

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考点冲关

 

 

直通高考

 

 

参考答案

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考点冲关

直通高考

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