高考数学考点之空间点、直线、平面之间的位置关系

 

知识整合

一、平面的基本性质及应用

1.平面的基本性质

2.等角定理

 

二、空间两直线的位置关系

三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系

1.直线与平面、平面与平面位置关系的分类

(1)直线和平面位置关系的分类

①按公共点个数分类:

②按是否平行分类:

③按直线是否在平面内分类:

(2)平面和平面位置关系的分类

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:

(1)两个平面平行——没有公共点;

(2)两个平面相交——有一条公共直线. 

2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

3.常用结论

(1)唯一性定理

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

(2)异面直线的判定方法

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

 

重点考向

考向一 平面的基本性质及应用

 

1)证明点共线问题,就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是公理3.常用方法有:

首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上;  

选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.

2)证明三线共点问题,一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.

3)证明点或线共面问题,主要有两种方法:

首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;

将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.

 

典例引领

典例1  (1)在下列命题中,不是公理的是

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2)给出以下四个命题 

不共面的四点中,其中任意三点不共线;

若点ABCD共面,点ABCE共面,则ABCDE共面;

若直线ab共面,直线ac共面,则直线bc共面;

依次首尾相接的四条线段必共面.

其中正确命题的个数是

A.0           B.1

C.2           D.3

 

【答案】(1)A (2)B

变式拓展

1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是AB,AA1的中点.

求证:(1)E,C,D1,F四点共面;

(2)CE,D1F,DA三线共点.

 

考向二 空间线面位置关系的判断

两条直线位置关系判断的策略:

(1)异面直线的判定常用到的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.

(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线,直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.

(3)对于异面直线的条数问题,可以根据异面直线的定义逐一排查.  

典例引领

变式拓展

2.若直线l与平面α相交,则

A.平面α内存在直线与l异面

B.平面α内存在唯一一条直线与l平行

C.平面α内存在唯一一条直线与l垂直

D.平面α内的直线与l都相交

 

典例引领

典例3  如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:

1)AMCN是否是异面直线?说明理由.

2)D1BCC1是否是异面直线?说明理由.

 

变式拓展

考向三 异面直线所成的角

求异面直线所成的角的常见策略:

(1)求异面直线所成的角常用平移法.

平移法有三种类型,利用图中已有的平行线平移,利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移,利用补形平移.

(2)求异面直线所成角的步骤

一作:即根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;

二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;

三求:解三角形,求出作出的角.

如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.

(3)判定空间两条直线是异面直线的方法

判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.

反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.

 

典例引领

变式拓展

4.如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.

(1)求MN与A1C1所成角的正切值;

(2)求B1D与A1C1所成角的大小.

 

考点冲关

 

直通高考

 

参考答案

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

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