高考数学考点之空间几何体的表面积和体积

 

知识整合

一、柱体、锥体、台体的表面积

1.旋转体的表面积

2多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.

棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系:

二、柱体、锥体、台体的体积

1.柱体、锥体、台体的体积公式

2柱体、锥体、台体体积公式间的关系

3必记结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;

(2)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.

三、球的表面积和体积

 

重点考向

考向一 柱体、锥体、台体的表面积

1.已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.

2多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理,以确保不重复、不遗漏.

3.求多面体的侧面积时,应对每一个侧面分别求解后再相加;求旋转体的侧面积时,一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.

 

典例引领

变式拓展

 

2.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯的三视图,其表面积为

 

A.192                                    B.186

C.180                                    D.198

 

考向二 柱体、锥体、台体的体积

空间几何体的体积是每年高考的热点之一,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度较小,属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有:

1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.

2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等体积法、割补法等方法进行求解.

等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.

割补法:运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题,关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系,如果是由几个规则的几何体堆积而成的,其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的,其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积.因此,从一定意义上说,用割补法求几何体的体积,就是求体积的“加、减”法.

3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.

典例引领

 

变式拓展

考向三 球的表面积和体积

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向  空间几何体表面积和体积的最值

求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路:

一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式,将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值,根据平面图形的有关结论直接进行判断;

二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式,然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考点冲关

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为

A.60                            B72

C81                            D114

 

直通高考

 

参考答案

变式拓展

1.【答案】C

【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体的三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.

【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的表面积后可求出最小值.

(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.

(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.

 

考点冲关

 

直通高考

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