高考数学考点之空间几何体的结构及其三视图与直观图

 

知识整合

一、空间几何体的结构

1.多面体

几何体

结构特征

备注

棱柱

底面互相平行.

侧面都是平行四边形.

每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.

按侧棱与底面是否垂直分类,可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

棱锥

底面是多边形.

侧面都是三角形.

侧面有一个公共顶点.

三棱锥的所有面都是三角形,所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.

棱台

上、下底面互相平行,且是相似图形.

各侧棱的延长线交于一点.

各侧面为梯形.

可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥

2.旋转体

二、空间几何体的三视图与直观图

1.空间几何体的三视图

(1)三视图的概念

①光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图叫做几何体的正视图;

②光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫做几何体的侧视图;

③光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫做几何体的俯视图.

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.

(2)三视图的画法规则

①排列规则:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.如下图:

②画法规则

ⅰ)正视图与俯视图的长度一致,即“长对正”;

ⅱ)侧视图和正视图的高度一致,即“高平齐”;

ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致,即“宽相等”.

③线条的规则

ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示;

ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.

(3)常见几何体的三视图

常见几何体

正视图

侧视图

俯视图

长方体

矩形

矩形

矩形

正方体

正方形

正方形

正方形

圆柱

矩形

矩形

圆锥

等腰三角形

等腰三角形

圆台

等腰梯形

等腰梯形

两个同心的圆

2.空间几何体的直观图

重点考向

 

考向一 空间几何体的结构特征

关于空间几何体的结构特征问题的注意事项:

(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.

(2)通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.

 

典例引领

典例1  给出下列四个命题:

各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;

对角面是全等矩形的六面体一定是长方体;

若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥;

长方体一定是正四棱柱.

其中正确的命题个数是

A.0                  B.1

C.2                  D.3

 

【答案】A

变式拓展

1.正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是

 

 

典例引领

【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题,常常把侧面展开,转化为平面几何问题处理.

 

变式拓展

考向二  空间几何体的三视图

三视图问题的常见类型及解题策略:

(1)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.  

(2)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线,不能看到的部分用虚线表示.

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.

 

典例引领

典例3  如图所示,在放置的四个几何体中,其正视图为矩形的是

【答案】B

【解析】A选项三棱锥、C选项圆台、D选项的正视图都不是矩形B选项圆柱的正视图为矩形.故选B

 

变式拓展

 

典例引领

典例4  如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是

 

A.三棱锥 B.三棱柱

C.四棱锥 D.四棱柱

 

【答案】B

 

变式拓展

4.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的最大值为

 

考向三 空间几何体的直观图

 

典例引领

 

变式拓展

 

考点冲关

1.有下列三个说法:

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;

②有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;

③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中正确的有

 

A.0个                 B.1个

C.2个                 D.3个

 

2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的正视图为

 

3.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是

A.圆柱          B.圆锥

C.四面体         D.三棱柱

 

4.某正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,则该正四棱锥的侧棱长是 

 

5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形,则原来的图形是

 

 

6.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②正方形;③圆;④椭圆中的

 

 

A.①②               B.②③ 

C.③④               D.①④

 

 

 

10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图,该几何体的各个面中有若干个是梯形,则这些梯形的面积之和为

 

 

A.28                B.30

  C.32                 D.36

 

 

12.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长度为

 

 

13.如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A’B’C’D’的面ADD’A’、面BCC’B’的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD’E在该正方体的面上的射影可能是图   .(填上所有正确图形对应的序号)

 

 

14.如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“          ”.

 

 

15.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.(填序号)

 

 

直通高考

 

2.(2018新课标全国Ⅲ理科)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

 

 

3.(2017新课标全国Ⅰ理科)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

 

A.10                   B.12

C.14                   D.16

 

42017北京理科)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为

 

 

参考答案

变式拓展

1.【答案】C

【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C正确.

 

考点冲关

1.【答案】A

【解析】本题主要考查棱台的结构特征.①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,故②③错.

 

2.【答案】D

【解析】所得几何体的正视图为一个长方形,且有一条从左下到右上的对角线,如下所示:

故选D.

 

直通高考

高考数学

高考数学考点之基本不等式

2019-12-18 10:59:49

高考数学

高考数学考点之空间几何体的表面积和体积

2019-12-18 15:20:18

0 条回复 A文章作者 M管理员
    暂无讨论,说说你的看法吧
个人中心
购物车
优惠劵
今日签到
有新私信 私信列表
有新消息 消息中心
搜索