高考数学考点之基本不等式

 

知识整合
 

一、基本不等式

二、基本不等式在实际中的应用

解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质,基本不等式,函数的单调性或导数求解.

 

重点考向

 

考向一  利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧:

1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式.

2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1”的代换等.常见的变形手段有拆、并、配.

——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件.

——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先由一组应用基本不等式,再组与组之间应用基本不等式得出最值.

——配式配系数

有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.

3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致.注:若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解.

 

典例引领

【名师点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得,若忽略了某个条件,就会出现错误.

 

变式拓展

考向二 基本不等式的实际应用

有关函数最值的实际问题的解题技巧:

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.

 

典例引领

变式拓展

考向三 基本不等式的综合应用

基本不等式是高考考查的热点,常以选择题、填空题的形式出现.通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题.主要有以下几种命题方式:

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小.解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.

(2)条件不等式问题.通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.

(3)求参数的值或范围.观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得到参数的值或范围.

 

典例引领

【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路:基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题.

 

变式拓展

 

典例引领

【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. 

 

变式拓展

考点冲关

 

直通高考

参考答案

变式拓展

考点冲关

直通高考

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