高考数学考点之数列的综合应用

 

知识整合

对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法

重点考向

考向一  等差、等比数列的综合应用

 

解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系

1)如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来,研究这些项与序号之间的关系;

2)如果两个数列是通过运算综合在一起的,就要从分析运算入手,把两个数列分割开,再根据两个数列各自的特征进行求解.

 

典例引领

【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式,考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用等差数列等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值.

变式拓展

 

考向二 数列与函数、不等式等的综合应用

1.数列可看作是自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,所以我们可以用函数的观点来研究数列.

解决数列与函数综合问题的注意点:

1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,而不是某个区间上的连续实数,所以它的图象是一群孤立的点.

2)转化为以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.

3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.

2.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种:

1)判断数列问题中的一些不等关系;

2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;

3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题

在解决这些问题时,要充分利用数列自身的特点,例如在需要用到数列的单调性的时候,可以通过比较相邻两项的大小进行判断.在与不等式的证明相结合时,注意构造函数,结合函数的单调性来证明不等式.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向  等差、等比数列的实际应用

 

典例引领

典例5  某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入n年的总支出投资额).

(1)从第几年开始获得纯利润?

(2)若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案:①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?

 

变式拓展

 

考向 数列中的探索性问题

对于数列中的探索性问题主要表现为存在型,解答此类问题的一般策略是:

1)先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在;

2)若推不出矛盾,能求得符合题意的数值或取值范围,则能得到肯定的结论,即得到存在的结果

 

典例引领

 

变式拓展

考向 数列的求和

 

求数列的前n项和,根据数列的不同特点,通常有以下几种方法:

1)公式法,即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解;

2)倒序相加法,即如果一个数列的前n项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可使用倒序相加法求数列的前n项和.

3)裂项相消法,即将数列的通项拆成结构相同的两式之差,然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项,保留了哪些项,一般未被消去的项有前后对称的特点.

常见的裂项方法有:

 

典例引领

 

变式拓展

 

考点冲关

 

 

直通高考

 

参考答案

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

高考数学

高考数学考点之等比数列及其前n项和

2019-12-12 16:18:05

高考数学

高考数学考点之不等关系与一元二次不等式

2019-12-16 15:49:05

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