高考数学考点之平面向量的数量积及向量的应用

 
知识整合

一、平面向量的数量积

1.平面向量数量积的概念

(1)数量积的概念

【注】零向量与任一向量的数量积为0.(2)投影的概念

3)数量积的几何意义

2.平面向量数量积的运算律

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

三、平面向量的应用

1.向量在平面几何中常见的应用

2.向量在物理中常见的应用

(1)向量与力、速度、加速度及位移

力、速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算.

(2)向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,

 

重点考向

考向一   平面向量数量积的运算

 

典例引领

 

变式拓展

考向二  平面向量数量积的应用

 

典例引领

变式拓展

 

考向三 平面向量的模及其应用

 

典例引领

变式拓展

 

考向四 平面向量的应用

1向量与平面几何综合问题的解法与步骤:

(1)向量与平面几何综合问题的解法

①坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.

②基向量法

适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.

【注】用坐标法解题时,建立适当的坐标系是解题的关键,用基向量解题时要选择适当的基底.

(2)用向量解决平面几何问题的步骤

①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

②通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

③把运算结果“翻译”成几何关系

 

2利用向量求解三角函数问题的一般思路:

(1)求三角函数值,一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解.

(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题,先求值再求角.

(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.

(4)解三角形.利用向量的坐标运算,把向量垂直或共线转化为相应的方程,在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.

 

3.用向量法解决物理问题的步骤如下:

(1)抽象出物理问题中的向量,转化为数学问题;

(2)建立以向量为主体的数学模型;

(3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型;

(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. 

 

4.常见的向量表示形式:

 

典例引领

【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系,将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴,分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标,再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模,进而求得夹角的余弦值.

 

变式拓展

典例引领

【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式,从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.

 

变式拓展

 

典例引领

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

 

参考答案

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时,常用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度.

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