高考数学考点之正、余弦定理及解三角形

 

知识整合
 

一、正弦定理

3.解决的问题

(1)已知两角和任意一边,求其他的边和角;

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.

 

二、余弦定理

 

三、解三角形的实际应用

1三角形的面积公式

2三角形的高的公式

hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.

3测量中的术语

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).

 

 

(2)方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).

(3)方向角

相对于某一正方向的水平角.

①北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);

②北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;

③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡角与坡度

①坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角);

②坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.

4解三角形实际应用题的步骤

 

重点考向

考向一 利用正、余弦定理解三角形

利用正、余弦定理求边和角的方法:

1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形,并在图形中标出相关的位置.

2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.

3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用.

常见结论:

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向二 三角形形状的判断

 

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向  与面积、范围有关的问题

(1)求三角形面积的方法

①若三角形中已知一个角(角的大小,或该角的正、余弦值),结合题意求夹这个角的两边或该两边之积,套公式求解.

②若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

(2)三角形中,已知面积求边、角的方法

三角形面积公式中含有两边及其夹角,故根据题目的特点,若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.

 

典例引领

【名师点睛】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

 

变式拓展

 

考向 三角形中的几何计算

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算,这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形,把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

 

 

典例引领

 

 

变式拓展

 

 

 

考向 解三角形的实际应用

 

解三角形应用题的两种情形:1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

研究测量距离问题是高考中的常考内容,既有选择题、填空题,也有解答题,难度一般适中,属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.

 

 

典例引领

变式拓展

 

考向 三角形中的综合问题

 

典例引领

 

变式拓展

考点冲关

 

 

直通高考

 

 

 

参考答案

 

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

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