高考数学考点之三角恒等变换

知识整合

 

一、两角和与差的三角函数公式

二、简单的三角恒等变换

 

【注】此公式不用死记硬背,可由二倍角公式推导而来,如下图:

 

 

重点考向

 

1.化简原则

(1)一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;

(2)二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;

(3)三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇到根式一般要升幂”等.

2.化简要求

(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;

(2)式子中的分母尽量不含根号.

3.化简方法

(1)切化弦;

(2)异名化同名;

(3)异角化同角;

(4)降幂或升幂.

 

典例引领

【方法技巧】

(1)三角化简的常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化.

(2)三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.

(3)在化简时要注意角的取值范围.

 

 

变式拓展

 

考向二  三角函数的求值问题

1.给角求值

给角求值中一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数,从而得解.

2.给值求值

已知三角函数值,求其他三角函数式的值的一般思路:

(1)先化简所求式子.

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).

(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

3.给值求角

 

 

典例引领

【名师点睛】“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系,如和或差为特殊角,必要时运用诱导公式.

 

变式拓展

 

典例引领

【名师点睛】在解决给值求角问题时,不仅要注意已经明确给出的有关角的范围,还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.

 

变式拓展

 

典例引领

【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.

 

 

变式拓展

 

考向三  三角恒等变换的综合应用

 

典例引领

 

变式拓展

 

考点冲关

 

 

直通高考

 

 

 

 

参考答案

 

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

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