高考数学考点之定积分与微积分基本定理

知识整合

一、定积分

 

2.求变速直线运动的路程

如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

 

二、微积分基本定理

重点考向
 

考向一 定积分的计算

1.求定积分的三种方法

(1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强;

(2)利用微积分基本定理求定积分;

(3)利用定积分的几何意义求定积分.当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.例如

 

2.用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;

(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;

(4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值;

(5)计算原始定积分的值.

3.分段函数的定积分

分段函数求定积分,可先把每一段函数的定积分求出后再相加.

4.奇偶函数的定积分

 

典例引领

故选A.

【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数,为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.

 

 

变式拓展

 

考向二 利用定积分求平面图形的面积

利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略

(1)利用定积分求平面图形面积的步骤

①根据题意画出图形;

②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;

③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;

④计算定积分,写出答案.

(2)知图形的面积求参数

求解此类题的突破口:画图,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再由已知条件可找到关于参数的方程,从而可求出参数的值.

(3)与概率相交汇问题

解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.

 

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向三  定积分的物理意义

利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题

利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.

 

典例引领

 

变式拓展

 

 

考点冲关

 

 

直通高考

 

 

 

 

参考答案

 

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

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