高考数学考点之导数的应用

知识整合

 

一、导数与函数的单调性

 

 

二、利用导数研究函数的极值和最值

 

三、生活中的优化问题

 

 

重点考向
 

考向一 利用导数研究函数的单调性

 

 

典例引领

 

 

 

变式拓展

 

 

 

考向二 利用导数研究函数的极值和最值

 

1.函数极值问题的常见类型及解题策略

 

2.求函数f (x)在[a,b]上最值的方法

(1)若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减,f (a)与f (b)一个为最大值,一个为最小值.

(2)若函数f (x)在区间(a,b)内有极值,先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值,与f (a)、f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

(3)函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时,这个极值点就是最大(或最小)值点.

注意:

(1)若函数中含有参数时,要注意分类讨论思想的应用.

(2)极值是函数的“局部概念”,最值是函数的“整体概念”,函数的极值不一定是最值,函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

3利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

图10

(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.

 

 

典例引领

 

变式拓展

 

 

考向 (导)函数图象与单调性、极值、最值的关系

1.导数与函数变化快慢的关系:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

2.导函数为正的区间是函数的增区间,导函数为负的区间是函数的减区间,导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点

 

 

典例引领

 

 

变式拓展

 

A.有极大值,没有最大值     B.没有极大值,没有最大值

C.有极大值,有最大值     D.没有极大值,有最大值

 

 

考向 生活中的优化问题

1.实际生活中利润最大,容积、面积最大,流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点,且在极值点附近左增右减,则此时唯一的极大值就是最大值.

2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手),将这一指标表示为自变量x的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围.

 

 

典例引领

 

 

变式拓展

4.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).

(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;

(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

 

 

考点冲关

 

 

 

 

直通高考

 

 

 

 

参考答案

 

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

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