高考数学考点之导数的概念及计算

 

知识整合

一、导数的概念

1.平均变化率

 

2.瞬时速度

 

3.瞬时变化率

 

4.导数的概念

 

5.导函数的概念

 

二、导数的几何意义

【注】曲线的切线的求法:若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.

(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0);

(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:

第一步:设出切点坐标P′(x1,f (x1));

第二步:写出过P′(x1,f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1);

第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;

第四步:将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.

 

三、导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

 

2.导数的运算法则

 

3.复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

 

 

重点考向

 

考向一 导数的计算

 

1导数计算的原则和方法

(1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.

(2)方法:

①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;

②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;

③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;

④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;

⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.

2.求复合函数的导数的关键环节和方法步骤

(1)关键环节:

①中间变量的选择应是基本函数结构;

②正确分析出复合过程;

③一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;

④善于把一部分表达式作为一个整体;

⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.

(2)方法步骤:

①分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量;

②求每一层基本初等函数的导数;

③每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.

 

 

典例引领

 

变式拓展

 

 

考向二 导数的几何意义

 

求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

(1)已知切点P(x0, y0),求y=f (x)过点P的切线方程:求出切线的斜率f ′(x0),由点斜式写出方程;

(2)已知切线的斜率为k,求y=f (x)的切线方程:设切点P(x0, y0),通过方程k=f ′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程;

(3)已知切线上一点(非切点),求y=f (x)的切线方程:设切点P(x0, y0),利用导数求得切线斜率f ′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,最后由点斜式或两点式写出方程.

(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系确定切线的斜率,再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0),最后写出切线方程.!网

(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线,P一定在曲线上.

②过点P的切线即切线过点P,P不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时,应首先检验点P是否在已知曲线上.

 

 

典例引领

【规律总结】求切线方程的步骤:

(1)利用导数公式求导数.

(2)求斜率.

(3)写出切线方程.

注意导数为0和导数不存在的情形.

 

 

变式拓展

考点冲关

 

直通高考

 

 

 

参考答案

 

变式拓展

 

考点冲关

 

 

直通高考

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