高考数学考点之函数与方程

知识整合

重点考向
 

考向一 函数零点(方程的根)所在区间的判断

 

 

典例引领

【规律总结】首先确定函数是连续函数,然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法:一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断.

 

 

 

变式拓展

 

 

考向二  函数零点个数的判断

 

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.

(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

 

 

典例引领

典例3  函数f(x)=2xlg(x1) −2的零点有

A.0个          B.1个

C.2个          D.3个

 

【答案】B

【解析】解法一:因为f(0)=1+0−2=−1<0,f(2)=4+lg3−2=2+lg3>0,所以由函数零点存在性定理知,f(x)在(0,2)上必定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)−2在(−1,+∞)上为增函数,故f(x)=0有且只有一个实根,即函数f(x)仅有一个零点.

 

解法二:在同一坐标系中作出h(x)=2−2x和g(x)=lg(x+1)的图象,如图所示,

 

 

由图象可知h(x)=2−2xg(x)=lg(x1)有且只有一个交点,即f(x)=2xlg(x1)−2与x轴有且只有一个交点,即函数f(x)仅有一个零点.

 

 

变式拓展

 

 

考向三  函数零点的应用问题

 

高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现,有时也会出现在解答题中.常与函数的图象及性质相结合,且主要有以下几种常见类型及解题策略.

1.已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件,此时应分三步:

①判断函数的单调性;

②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式;

③解不等式,即得参数的取值范围.在求解时,注意函数图象的应用.

2.已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下,常利用数形结合法,把此问题转化为求两函数图象的交点问题.

3.借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系

要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)、f(b)与0的大小.若直接比较函数零点的大小,则可有以下三种常用方法:

①求出零点,直接比较大小;

②确定零点所在区间;

③同一坐标系内画出函数图象,由零点位置关系确定大小.

 

 

典例引领

 

 

变式拓展

 

考点冲关

 

 

 

直通高考

 

 

 

参考答案

变式拓展

考点冲关

 

直通高考

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