高考数学考点之指数与指数函数

知识整合
一、指数与指数幂的运算

1.根式

【注】速记口诀:

正数开方要分清,根指奇偶大不同,

根指为奇根一个,根指为偶双胞生.

负数只有奇次根,算术方根零或正,

正数若求偶次根,符号相反值相同.

负数开方要慎重,根指为奇才可行,

根指为偶无意义,零取方根仍为零.

2.实数指数幂

(1)分数指数幂

 

二、指数函数的图象与性质

1.指数函数的概念

【注】速记口诀:

指数增减要看清,抓住底数不放松;

反正底数大于0,不等于1已表明;

底数若是大于1,图象从下往上增;

底数01之间,图象从上往下减;

无论函数增和减,图象都过(01)点.

 

 

重点考向

考向一 指数与指数幂的运算

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.

(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.

(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.

(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.

(5)有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算.

(6)将根式化为指数运算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示.如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.

 

典例引领

 

 

变式拓展

 

考向二  与指数函数有关的图象问题

【注】可概括为:函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为上加下减,左加右减

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向三 指数函数单调性的应用

1比较幂的大小的常用方法:

(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;

(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;

(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.

2.解指数方程或不等式

简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论

 

典例引领

 

变式拓展

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向四 指数型函数的性质及其应用

1指数型函数中参数的取值或范围问题

应利用指数函数的单调性进行合理转化求解,同时要特别注意底数a的取值范围,并当底数不确定时进行分类讨论.

2指数函数的综合问题

要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.

 

典例引领

 

变式拓展

5.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则

A.f(x)与g(x)均为偶函数     B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数     D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

 

典例引领

 

变式拓展

 

考点冲关

 

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