高考数学考点之二次函数与幂函数

知识整合
一、二次函数1.二次函数的概念

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2.表示形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

(2)顶点式:f(x)=a(x−h)2+k(a≠0),其中(h,k)为抛物线的顶点坐标.

(3)两根式:f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标.

3.二次函数的图象与性质

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二、幂函数

1.幂函数的概念

一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x为自变量,α为常数.

2.几个常见幂函数的图象与性质

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重点考向

 

考向一  求二次函数或幂函数的解析式

1.求二次函数解析式的方法

求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式.一般选择规律如下:

 

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2.求幂函数解析式的方法

幂函数的解析式是一个幂的形式,且需满足:

(1)指数为常数;

(2)底数为自变量;

(3)系数为1.

 

典例引领

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变式拓展

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考向二  幂函数的图象及性质的应用

1.幂函数y=xα的图象与性质,由于α值的不同而比较复杂,一般从两个方面考查:

α的正负:当α>0时,图象过原点,在第一象限的图象上升;当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.

②幂函数的指数与图象特征的关系

α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下:

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2.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.

 

典例引领

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变式拓展

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典例引领

 

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变式拓展

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考向三  二次函数的图象及性质的应用

 

高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低,常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题,考查二次函数图象与性质的应用,以选择题、填空题的形式呈现,有时也出现在解答题中,解题时要准确运用二次函数的图象与性质,掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略:

 

1.图象识别问题

辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除.

 

2.二次函数最值问题的类型及处理思路

(1)类型:a.对称轴、区间都是给定的;b.对称轴动、区间固定;c.对称轴定、区间变动.

(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

 

3.解决一元二次方程根的分布问题的方法

常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从:a.开口方向;b.对称轴位置;c.判别式;d.端点函数值符号四个方面分析.

 

4.求解与二次函数有关的不等式恒成立问题

往往先对已知条件进行化简,转化为下面两种情况:

 

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典例引领
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变式拓展

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典例引领

 

 

变式拓展

 

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考点冲关

 

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直通高考

 

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参考答案

变式拓展

 

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考点冲关

 

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直通高考

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