高考数学考点之函数的基本性质

知识整合
一、函数的单调性

1.函数单调性的定义

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2单调区间的定义

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3.函数单调性的常用结论

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4函数的最值

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二、函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义及图象特点

 

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2.函数奇偶性的几个重要结论

 

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三、函数的周期性

 

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重点考向

 

考向一  判断函数的单调性

1.判断函数单调性的方法:

 

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2利用复合函数关系,若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称同增异减

3图象法:从左往右看,图象逐渐上升,则单调递增;图象逐渐下降,则单调递减.

4导数法:利用导函数的正负判断函数的单调性.

5利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,判断函数的单调性.

2.在利用函数的单调性写出函数的单调区间时,首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集,求函数的单调区间必须先确定函数的定义域;其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.

 

典例引领

 

典例1  下列有关函数单调性的说法,不正确的是

A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数

B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数

C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数

D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数

 

【答案】C

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变式拓展

 

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考向二  函数单调性的应用

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典例引领

 

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变式拓展

 

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考向三 函数最值的求解

 

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典例引领

 

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变式拓展

 

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考向四 判断函数的奇偶性

判断函数奇偶性常用方法及思路

1定义法:

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2图象法:

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3)性质法:利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

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典例引领

 

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变式拓展

 

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考向五 函数奇偶性的应用

1与函数奇偶性有关的问题及解决方法

1已知函数的奇偶性,求函数值.

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

2已知函数的奇偶性求解析式.

已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是:首先设出未知区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

3已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

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(4)已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.

利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.

2对称性的三个常用结论

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典例引领

 

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变式拓展

 

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考向六 函数周期性的判断及应用

 

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典例引领
 

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变式拓展

 

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考向七 函数性质的综合应用

 

函数的三个性质单调性、奇偶性和周期性在高考中一般不会单独命题,而是常将它们综合在一起考查,其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合,并结合奇偶性求函数值,多以选择题、填空题的形式呈现,且主要有以下几种命题角度

1函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.

2周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

3周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

 

 

典例引领

 

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变式拓展

 

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考点冲关

 

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直通高考

 

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参考答案

 

变式拓展

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考点冲关

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直通高考

 

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