高考数学考点之推理与证明

知识整合

一、推理

1.推理

(1)定义:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理.推理一般包含两个部分:一是前提,是指已知的事实(或假设);二是结论,是由已知判断推出的新的判断,即推理的形式为“前提结论”.

(2)分类:推理(演绎推理
、合情推理)

2.合情推理

(1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理叫做合情推理.

(2)特点:

①合情推理的结论是猜想,不一定正确;

②合情推理是发现结论的推理.

(3)分类:合情推理(归纳推理和类比推理).

(4)归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤

名称 归纳推理 类比推理
定义 根据某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,叫做归纳推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理
特征 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理
步骤 ①通过观察部分对象发现某些相同性质 

②从已知的一个明确表达的一般性命题(猜想)中推出相似性或一致性

①找出两类事物之间的相同性质 

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)

3.演绎推理

(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.

(2)特点:

①演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确;若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的,所得的结论就是错误的.

②演绎推理是证明结论的推理.

(3)模式:三段论是演绎推理的一般模式,即

①大前提——已知一般的原理;

②小前提——所研究的特殊情况;

③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

【注】三段论常用的格式为:

大前提:M是P.

小前提:S是M.

结论:S是P.

 

二、证明

1.直接证明——综合法与分析法

(1)综合法

①定义:利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.

②框图表示:(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证的结论)

③思维过程:由因导果.

(2)分析法

①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.

②框图表示:(其中P表示要证明的结论)

③思维过程:执果索因.

2.间接证明——反证法

(1)定义:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.

(2)反证法中的矛盾主要是指以下几方面:

①与已知条件矛盾;

②与假设矛盾;

③与定义、公理、定理矛盾;

④与公认的简单事实矛盾;

⑤自相矛盾.

 

三、数学归纳法

 

重点考向

考向一 合情推理

常见的类比、归纳推理及求解策略:

(1)在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:

①找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;

②找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.

(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法.

典例引领

 

变式拓展

 

考向二 演绎推理

1)演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.

2)演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确,因此,分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向三 直接证明

利用综合法、分析法证明问题的策略:

1)综合法的证明步骤如下:

分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等;

转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.

2)分析法的证明过程是:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.

3)实际解题时,用分析法思考问题,寻找解题途径,用综合法书写解题过程,或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“已知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,找到沟通已知条件和结论的途径.

典例引领

 

变式拓展

 

考向四 间接证明

1.用反证法证明不等式要把握的三点

(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.

(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.

(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.

2.反证法的一般步骤

用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤:

(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;

(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;

(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.

即反证法的证明过程可以概括为:反设——归谬——存真.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考向五 数学归纳法

应用数学归纳法的常见策略:

1)应用数学归纳法证明等式,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,由n=kn=k1时等式两边变化的项.

2)应用数学归纳法证明不等式,关键是由n=k成立证n=k1时也成立.在归纳假设后应用比较法、综合法、分析法、放缩法等加以证明,充分应用不等式的性质及放缩技巧.

3)应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”,是不完全归纳与数学归纳法的综合应用,关键是先由合情推理发现结论,然后再证明结论的正确性.

 

典例引领

 

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

 

 

参考答案

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