高考数学考点之离散型随机变量及其分布列、均值与方差

知识整合

 

一、离散型随机变量的分布列

 

二、常见的离散型随机变量的概率分布模型

3.必记结论

(1)两点分布实际上是n=1时的二项分布.

(2)某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和.

 

三、离散型随机变量的均值与方差

 

 

重点考向

考向一 离散型随机变量分布列性质的应用

分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用,离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用:

1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;

2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;

3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

 

典例引领

 

变式拓展

1.某离散型随机变量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.5,则P(ξ≥2)=

ξ

0

1

2

3

P

0.1

m

n

0.1

A.0.3  B.0.4

C.0.5  D.0.6

 

2.若随机变量X的分布列如下表,且E(X)2,则D(2X3)

 

A.2     B.3

C.4     D.5

 

 

考向二 离散型随机变量的分布列、均值与方差

1.求离散型随机变量X的分布列的步骤:

(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;

(2)求X取每个值的概率;

(3)写出X的分布列.

2.(1)与排列、组合有关分布列的求法.可由排列、组合、概率知识求出概率,再求出分布列.

(2)与频率分布直方图有关分布列的求法.可由频率估计概率,再求出分布列.

(3)与互斥事件有关分布列的求法.弄清互斥事件的关系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.

(4)与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法.先弄清独立事件的关系,求出各个概率,再列出分布列.

3.求解离散型随机变量X的均值与方差时,只要在求解分布列的前提下,根据均值、方差的定义求即可.

 

典例引领

 

 

变式拓展

 

3.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化,打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系,某调研机构随机抽取了50人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计,如下表: 

(1)若以“年龄55岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为使用手机支付与人的年龄有关;

(2)若从年龄在[55,65),[65,75)内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中使用手机支付的人数为.

①求随机变量的分布列;

②求随机变量的数学期望.

 

4.某大型商场今年国庆期间累计生成2万张购物单,从中随机抽出100张,对每单消费金额进行统计得到下表:

由于工作人员失误,后两栏数据无法辨识,但当时记录表明,根据以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率,完成下列问题:

(1)估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中,单笔消费额超过800元的概率;

(2)为鼓励顾客消费,该商场计划在今年国庆期间进行促销活动,凡单笔消费超过600元者,可抽奖一次.抽奖规则为:从装有大小、材质完全相同的5个红球和5个黑球的不透明口袋中,随机摸出4个小球,并记录两种颜色小球的数量差的绝对值X,当X=4,2,0时,消费者可分别获得价值500元、200元和100元的购物券,求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.

 

考向三 超几何分布

超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:

考察对象分两类;

已知各类对象的个数;

从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.

超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型,要熟记公式,正确运用.

典例引领

典例5  为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛,某市重点中学准备举办一次选拔赛,共有60名高二学生报名参加,按照不同班级统计参赛人数,如表所示:

班级

宏志班

珍珠班

英才班

精英班

参赛人数

20

15

15

10

(1)从这60名高二学生中随机选出2人,求这2人在同一班级的概率;

(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

 

典例6为了统计某市网友2017年的“双十一”在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市60名网友当天的网购金额情况,得到如下数据统计表:

 

网购金额(单位:千元)

频数

频率

(0,0.5]

3

0.05

(0.5,1]

x

p

(1,1.5]

9

0.15

(1.5,2]

15

0.25

(2,2.5]

18

0.30

(2.5,3]

y

q

合计

60

1.00

网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客的人数比恰为2∶3.

(1)求p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);

(2)从网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客中用分层抽样的方法抽取15人,若需从这15人中随机选取3人进行问卷调查,设ξ为选取的3人中网购金额超过2千元的人数,求ξ的分布列和期望.

 

变式拓展

 

考向 利用均值、方差进行决策

均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.

 

典例引领

典例7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:

周一

无雨

无雨

有雨

有雨

周二

无雨

有雨

无雨

有雨

收益

20万元

15万元

10万元

7.5万元

若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.

(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;

(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.

 

典例8某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记其质量指标值为k,当k≥85时,产品为一级品;当75≤k<85时,产品为二级品;当70≤k<75时,产品为三级品.现用两种配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果(以下均视频率为概率):

 

变式拓展

7.某理财公司有两种理财产品A和B,这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立):

 

考点冲关

 

直通高考

 

参考答案

变式拓展

 

考点冲关

 

直通高考

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2020-1-14 11:11:43

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2020-1-16 12:03:36

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